分岐階型理論と還元公理についてのメモ

べ、別に論理学に興味があるわけじゃないんだからねっ！Stewart Shapiroの本で気になった箇所をまとめてみただけなんだから！

まずはフレーゲによる自然数の構成：

もしnが、0に対して成立しかつ後続の関係に関して閉じているすべての概念Fに対して成立するならば、nは自然数。すなわち

Nn≡∀F[F0∧∀d∀d'((Fd∧d' is a successor of d) ⇒ Fd') ⇒ Fn]

これをラッセルは集合の言葉に移植する：

もしnが、0を元として含みかつすべての元に対し後続する元をも含むようなすべての集合に含まれるならば、nは自然数。すなわち

Nn≡∀F[F∋0∧∀d∀d'((F∋d∧d' is a successor of d) ⇒ F∋d') ⇒ F∋n]

ただしここでFはtype 3の集合（なぜなら0はtype 2の数として定義され、異なる階型の要素を同じ集合の中に混ぜてはいけないから）。ラッセルのこの定義は、定義されるべき当の対象を元として含む集合への言及を含んでいるから、非可述的。ラッセル（とホワイトヘッド）は非可述的定義を受け容れないから、循環を回避するために彼らは階型をさらにorderに分ける。

type 1の集合が、もし集合への言及なしに定義可能であるならば、その集合はorder 0の集合で、「可述的集合」と呼ぶ。
type 1の集合が、それ自身可述的ではないものの可述的集合への言及のみによって定義可能であるならば、その集合はorder 1。
type 1の集合が、それ自身order 1ではないもののorder 1の集合への言及のみによって定義可能であるならば、その集合はorder 2。

同様の階層分けがすべての階型に対して成り立つ。これがプリンキピアの分岐階型理論(ramified type theory)。この理論に従えば、先の自然数の定義における「すべての集合」というフレーズは、type 2の集合のあるorder内に限定しないといけない。すなわち、「もしnが、0を元として含みかつすべての元に対し後続する元をも含むようなすべての可述的集合に含まれるならば、nはtype 2 order 1の自然数」、「もしnが、0を元として含みかつすべての元に対し後続する元をも含むようなすべてのorder 1の集合に含まれるならば、nはtype 2 order 2の自然数」、という風に。

しかしこのように定義された各orderの自然数が同一の自然数である必然性がない。また、階層性の制約がいくつかの数学的手法の定義を不可能にするらしい（数学的帰納法とか）。この困難を解消するために、ラッセルとホワイトヘッドは還元公理(axiom of reducibility)を提案する。「すべての階型におけるすべての集合Cについて、Cと同じ要素を持つ可述的集合C'が存在する」というのが還元公理の主張。こうして自然数の定義における「すべての集合」を「すべての可述的集合」に限定し、階層性の制約を無視することができる。しかしこれが批判者らからアドホックの誹りを受けることになる。