Introduction
"there is no need to justify current beliefs, only changes in belief" (Isaac Levi, "Pragmatism and Change of View" p.179)
Chapter 1: Peirce and Scepticism
[In the nominalist conception of reality] we know about external things through the mediation of what seem to be intuitions, singular representations ("sensations") which are determined by ("directly influenced by") the transcendental object and which provide the sole basis for our thoughts. (...) This view assigns a fundamental role to intuitions: they are our point of contact with (and only source of information about) reality. The method of doubt can then be seen as a device for identifying what is really given to us in intuition; it helps us to free ourselves from those aspects of our perceptual beliefs that are determined by background substantive assumptions rather than being determined by the transcendental object. (p.31)
"This final opinion, then, is independent, not indeed of thought in general, but of all that is arbitrary and individual in thought; is quite independent of how you, or I, or any number of men think." (CP 8.12)
Chapter 3: Truth, Reality, and Convergence
When a proposition is true, "anyone who investigates" is fated to arrive at belief in it. Now "investigates" is a transitive verb. So, anyone who investigates what? When this is spelled out, a variety of distinct theses emerge.
1. If a proposition is true, then anyone who inquires "into the nature of reality" (well enough and long enough) is fated to believe it.
2. If a proposition is true, then anyone who investigates some question to which that proposition provides the answer is fated to believe it.
The "traditional" reading of Peirce, the reading that leads to claim that he is committed to an absolute conception of reality, suggests that he accepts (1):
any truth is, in principle, accessible to any inquirer. Position (2)
need not lead to such an interpretation of his views. It is compatible with the recognition that a particular inquirer might be fated never to confront a question to which some true proposition provides the answer, perhaps even with the admission that some inquirer could never even understand such a question. (p.56)
Chapter 5: Normative Logic and Psychology
Suppose that I am justified in believing that someone is an extremely successful poker player. When I learn that they make use of a particular strategy of reasoning in the course of their play, then, we might suppose, I have good, albeit defeasible, reason for thinking that the kinds of reasoning they employ are indeed good ones. I would not have an explanation of what their goodness consists in. But I do have strong inductive evidence that the inferences they use can be trusted. It is important that this depends upon the normative premiss that the poker player is successful. The target of Peirce's criticisms is a position where no such normative information is already available. A similar phenomenon occurs when philosophers of science attempt to construct an account of the scientific method through detailed historical studies of scientific practice. We identify norms for scientific practice through (psychological?) descriptions of how science has actually proceeded. Paul Thagard observed that this is not strictly a case of using descriptions of scientific practice in order to determine how scientific inquiry ought to be. The whole inquiry depends upon the selection of examples of good science as subjects of historical inquiry. A crucial normative judgement is already made at the very beginning. (pp.95-96)
→ 「しかし、ある科学がgoodかbadかの判断は、それがevidenceに合致しているかどうかという事実によって決まるのではないか」という疑問に対しては、科学は「evidenceに従うべき」という規範にやはり従っている、と答えることができる。
Chapter 6: "The Form of a Relation"
The major difficulty for the ante rem [structuralist] position is that it needs to explain what the reality of the
required structures consists in when there are no systems that exemplify
them. (p.125)
Chapter 9: The Principle of Pragmatism
"Pragmatism is the principle that every theoretical judgment expressible in a sentence in the indicative mood is a confused form of thought whose only meaning, if it has any, lies in its tendency to enforce a corresponding practical maxim expressible as a conditional sentence having its apodosis in the imperative mood." (EP 2: pp.134-135)
→ 条件付きでない確率はconfusedであるという論点との繋がり。「確率とは、ある行為（推論の条件）に対して、ある事象（推論の帰結）が成立する相対頻度である」という定式化は、確率概念のpragmatic clarificationに相当すると言える（？）
プラグマティズムの格率の二つの定式化：
(i) If the circumstances are C and you have desires D, then (you ought to) perform an action of type A.
(ii) In circumstances C, if you were to do A, then you would experience E.
次の補助命題によって、(ii)から(i)を導出できる：
(iii) If you desire to experience E, then you can do so by doing A.
"The occasion of such action would be some sensible perception, the motive of it to produce some sensible result." (W3: pp.256-266)
→ 行為の目的とは常に、何らかの感覚可能な結果をもたらすことである。
概念の使用は常に、（たとえ潜在的であれ）その概念に対する何らかの働きかけ（行為）を伴うとすれば、概念使用がpractical bearingsを持たねばならない理由が分かる。(p.177)
"[The end of an explanatory hypothesis] is, through subjection to the test of experiment, to lead to the avoidance of all surprise and to the establishment of a habit of positive expectation that shall not be disappointed." (EP 2: p.235)
[W]hat is required of pragmatic clarifications is that they can be interpreted in this way [in the form of conditional resolutions]; it is not required that they explicitly take this form. (p.180)
→ 実際、定式化(i)を実際のclarificationで適用するのは、想定可能な場面や欲求が多すぎて実質的に不可能。
One of Peirce's strategies for proving pragmatism, was to argue that the pragmatic clarification of a proposition (or concept) would constitute its "ultimate" or "final" logical interpretant. Even if such an interpretant is not useful to us, is not easy to formulate or apply in practice, the fact that the final logical interpretant takes this form is the key to the correctness of pragmatism. So perhaps the final logical interpretant can take the form of a huge set of conditional resolutions, even if our everyday pragmatic clarifications cannot do so. (p.180)
[James's definition of pragmatism] differs from mine only in that he does not restrict the "meaning," as I do, to a habit, but allows percepts, that is, complex feelings endowed with compulsiveness to be such. If he is willing to do this, I do not quite see how he need give any room at all to habit. (CP 5.494)
→ habitでなければindividual reactionsになってしまい、一般的なパターンを確立できない。
Chapter 11: How Peirce Argued for His Pragmatic Maxim
Peirce talks of the logic of judgement and assertion, and compares this with a psychology of belief. We understand judgement as a practice of belief formation which is governed by logical norms; in making a judgement, I commit myself to the correctness of doing so. (p.204)
The mathematician's notations will typically instantiate the abstract structure that she studies. We obtain knowledge of abstract structures by experimenting upon their instantiations. Thus our knowledge of mathematics doesn't provide counterexamples to the pragmatic maxim. (p.218)
"I will say that a sign is anything, of whatsoever mode of being, which mediates between an object and an interpretant; since it is both determined by the object relatively to the interpretant, and determining the interpretant with reference to the object, in such wise as to cause the interpretant to be determined by the object through the mediation of this 'sign'." (EP 2: p.410)
The two italicized phrases can be best understood as follows: the rash is a sign of measles because it has the power to be understood or interpreted in that way; and the sign can be understood as an indication of measles because the object (the measles) has produced the sign. (p.222)
[O]nly a habit can serve as the ultimate interpretant of an intellectual concept. (p.228)
"It can be proved that the only mental effect that can be so produced and that is not a sign but is of a general application is a habit change; meaning by habit change a modification of a person's tendencies toward action, resulting from previous experiences or from previous exertions of his will or acts, or from a complexus of both kinds of cause." (CP 5.475)
"[E]very man exercises more or less control over himself by means of modifying his own habits; and the way in which he goes to work to bring this effect about in those cases in which circumstances will not permit him to practice reiterations of the desired kind of conduct in the outer world shows that he is virtually well-acquainted with the important principle that reiterations in the inner world—fancied reiterations—if well-intensified by direct effort, produce habits, just as do reiterations in the outer world; and these habits will have power to influence actual behaviour in the outer world; especially, if each reiteration be accompanied by a peculiar strong effort that is usually likened to issuing a command to one's future self." (EP 2: p.413)
→ これはnormativityの自然的説明たりうるのではないか。ただし、実際の場面でnormativityを自然的な記述に還元できる、という意味ではない。
2014年4月9日水曜日
2014年4月6日日曜日
エルンスト・カッシーラー『実体概念と関数概念』第一章
以下の文章は、エルンスト・カッシーラー『実体概念と関数概念』の読書会のために私が用意したレジュメです。範囲は第一章のみ、頁番号は全て山本義隆訳（みすず書房，1979年）のもの。
思想史的背景
本書の内容に入る前に、本書が執筆された思想史的背景を簡単に概観したい。エルンスト・カッシーラーは新カント派のマールブルク学派の伝統で育ったドイツの哲学者である。1870年代から1920年代にかけてドイツで栄えた新カント派には、大きく分けてマールブルク学派とバーデン学派（西南ドイツ学派）があった。この二つの学派は、当時興隆しつつあったリヒャルト・アヴェナリウスやエルンスト・マッハ流の実証主義に対抗するという目的意識において共通していた。しかし、人文諸学と自然科学の認識論・方法論上の違いを強調するバーデン学派に対し、マールブルク学派の論者たちは、あくまで科学的認識の統一的把握を重視した。すなわち、バーデン学派の論者たちが、自然科学の領域においては実証主義的な理解を概ね認めつつ、そうした理解が人文諸学の領域へ侵食するのを防ぐことに関心を持っていたのに対し、マールブルク学派の論者たちは、自然科学の領域における実証主義の誤りを示すことが、とりもなおさず、人文諸学における実証主義の誤りを示すことにもなる、という前提に立っていた。前者が歴史学や心理学に、そして後者が数学や厳密科学の基礎論に力点を置くのはこのためである。
マールブルク学派の創始者で、のちにカッシーラーの先生になるのがヘルマン・コーエンである。コーエンの哲学の特徴は、その独特のカント理解と、その発生論的な認識論にある。1870年代当時、リーマン幾何学の発見や、マックスウェル電磁気学の成立による力学的世界観の崩壊が、ユークリッド幾何学をアプリオリな直観形式として捉え、力学的世界観をその哲学体系の前提としていたカントの哲学に対する根本的な疑念を投げかけていた。コーエンの関心は、カント自身の方法を徹底することによって、カントの枠組みを当時の数学や自然科学の新たな成果と整合する形で刷新することにあった。彼は、人間の知におけるアプリオリな構造を、カントのように固定的なものとしてではなく、歴史的過程を通して発展するものとして捉えることによってこの刷新を行った。また、カントの「物自体」の概念を、現象の背後にあって我々の感覚経験をもたらす不可知の原因として考える代わりに、科学的認識を可能にするアプリオリな構造が、そこへ向かって収束しつつも、決して到達はしない理想的極限として再解釈した。コーエンのこの独自の認識論は、『実体概念と関数概念』におけるカッシーラーの議論に多大な影響を与えたと言える。というのも本書は、コーエンの認識批判のプロジェクトを、実際の科学的思考の発展史をたどることによって遂行するという趣旨の研究だからである。しかし、コーエンの影響を強調するあまり、カッシーラー独自の貢献を過小評価してはなるまい。とりわけ、経験論（したがって実証主義）が依拠する感覚経験からの「抽象」理論を批判するという論点において、カッシーラーの着眼の独創性が際立っていると言えよう。
第一節 アリストテレスの抽象理論
カッシーラーは、抽象理論の起源をアリストテレスの概念論に求めている。アリストテレスの概念論によれば、我々は、感覚に与えられる諸々の事物に共通の特徴を選び出すことによって概念を形成する。これが「抽象」(ἀφαίρεσις)と呼ばれるプロセスである。共通の特徴を持つ事物の集合は「種」(εἶδος)の概念を成し、これらの種もさらに、共通する特徴を持つ種の集合である「類」(γένος)の概念を成す。こうした類もさらに高次の類に対する種となることによって、類と種のヒエラルキー的構造が形成される。
ここで問題となるのは、いかにして意味のある抽象を、恣意的で無意味な抽象から区別するかである。例えば、桜桃と牛肉を「赤く、汁気が多く、食べられる」といった共通の特徴に基づいて概念化したとしても、我々の事物の理解に貢献することは何もないだろう(p.7)。アリストテレスにおいては、論理学を形而上学で補完することによってこの問題が回避されている（あるいはそもそも問題として意識されていないのかもしれない）。すなわち、抽象のプロセスによって我々が形成する概念は、存在論の次元における「実体」ないし「本質」(οὐσία)をそのまま捉えることができる、という想定によってこの問題が回避されているのである。上に挙げた桜桃と牛肉の例に関して言えば、事物の本質を捉え損なっているというわけである。このことから、実体概念がアリストテレスの論理学において中心的な役割を担っていることが見て取れる。そして注目すべきは、「AはBより大きい」や「AはBに後続する」といったような関係概念が、実体概念に対して従属的な地位しか与えられていないという事実である。すなわち、まず初めに実体が与えられていて、関係概念は後から、偶然的な限定として付加されるに過ぎない。カッシーラーの指摘するところによれば、アリストテレスに由来するこうした思考様式は、後世の論理学の発展において、一つの基層として伏在し続けている(pp.9-10)。（ところで初読の際、私が気になったのは、カッシーラーが性質概念と関係概念を区別していない点である。「量」や「質」といった性質概念は、二つ以上の項に関わる関係概念とは本来区別されるべきであるが、彼は前者をも関係概念として一括的に扱っている。しかしこの疑問は、後述するように、カッシーラーによる「関数概念」の導入によって氷解する）。
第二節 抽象理論の問題点
かくして、中世の普遍論争では、普遍者の実在性の如何が取り沙汰されるわけであるが、唯名論の陣営も実在論の陣営も、ともに次の暗黙的前提を共有し、疑うことはなかった。すなわち、普遍者とは、類似した諸事物から成る系列において、それらの事物が持つ共通の要素に他ならない、という前提である(p.10)。近世に入るとジョージ・バークリらの心理主義的批判が登場するが、事情はやはり同じである。彼らは抽象の理論を外的な事物の次元から、人間心理の次元に移し替えただけで、理論自体はそのまま保持されているからである(p.10)。 さて、カッシーラーは抽象理論に対して次の疑念を投げかける：「ここで展開された概念の理論は、具体的な〈科学〉において行われている手続きを充分かつ忠実に描き出しているであろうか？」(p.13)。彼の答えは「否」であり、その根拠はアリストテレスの抽象理論についても心理主義的な抽象理論についても本質的には同じである。アリストテレスの概念論に関して言えば、彼の理論が有効なのは精々、生物の分類などの分類学までであって、その領域を超えて数学的な概念を扱おうとすると、たちまち困難に直面する。というのも、単に事物のいくつかの特徴の模写を目指す経験的概念とは異なって、数学的概念は、諸事物の結合の原理を、思考によって構成することを通してしか生まれないからである。この論点は重要と思われるので、少々長いが引用しよう(pp.13-14)：
ここに、カッシーラーがとりわけ抽象理論を取り上げ、それに依拠する実証主義を批判する理由を見て取ることができる。すなわち、実証主義的科学は思考の他律を招くからである。人間精神はただ機械的にデータを集め、その規則性を「思惟経済」の原則に従って記述するのではなく、概念を経験に適用することによって元々そこになかった新しいものを生み出していく、というわけである。こうしたモチーフにおいて、カッシーラーが紛れもなくカント主義の伝統の後継者であることが伺える。
カッシーラーは、数学的概念に関するJ・S・ミルの経験主義的な理論を検討することによってこの論点を敷衍する。曰く、一方でミルは、数学的概念の経験的起源を主張するために、概念と感覚的印象との類縁性を強調するが、他方で、こうした類縁性は数学的命題の必然的性格と両立しえない(p.15)。数学的命題が必然的であるのは、それが具体的な事実ではなく、仮言的形式間の関係に関わるからに他ならない(p.15)。勿論、ここで「仮言的形式」と言われているのが概念に相当する。
続いてカッシーラーは抽象の心理主義的理論を検討するが、論旨は本質的に同じである。この理論によれば、類似した知覚を同一視することによって概念が形成されるが、そもそも類似した知覚の系列を構成するためには、一つの知覚から次の知覚へと移行するための何らかの原理が必要である(p.17)。つまり、我々は予め「類似性」の原理を把握していなければ、類似した知覚の系列を構成できないはずであるから、概念の形成を説明するために知覚間の類似に訴える抽象理論は循環論に陥っている、というわけである。系列の整序原理（概念はその表現に過ぎない）は系列の要素とは論理的な階層性が異なるため、後者だけから前者は出て来ない。
第三節 関数概念
第三節でカッシーラーは「関数」の概念を導入する。抽象理論で特徴的なのは、具体的なものから抽象概念を得るとき、具体的なものにおける非本来的な要素を捨てていく、というプロセスである(pp.20-21)。個々の事物間の差異を考慮の埒外に置くという否定的な作用を通してこそ、我々は一般的概念に到達できるというわけである。しかし、こうした描像は数学的概念の場合には当て嵌まらない、とカッシーラーは指摘する(p.21)。なぜなら、抽象理論の描像に従えば、一般的概念から個々のケースを再現することは不可能なはずであるが、数学的概念の場合、普遍的な式から個々のケースを演繹できるからである。カッシーラーの挙げる例で言えば、二次曲線の一般形に具体的な定数を代入することによって、円の方程式や楕円の方程式が得られる(p.22)。また、こうした一般化を行うことによって、個々のケースに対する我々の理解も豊かになる。リーマン幾何学などのより高次の幾何学を通してこそ、我々は、通常のユークリッド空間の公理的構造をより明晰に把握することができる(p.23)。
かくして我々は、実体概念の思考様式に依拠する抽象理論とは異なる観点から、一般的概念を捉えることができる。カッシーラーはこの観点を、「数学的な関数概念の論理学」と呼んでいる(p.24)。この観点では、例えばaα1β1, aα2β2, aα3β3, … という系列が与えられたとき、我々は一足飛びにその共通の成分であるaに到達するのではなく、まずそれぞれのα, βをx, yといった変数で置き換える。かくして、系列全体が、f(x,y)=axyという一般形によって統一的に表現される(p.26)。これが、この論理によって得られた概念が「関数概念」と呼ばれる所以である。そして、関数概念は近代的な自然理解において枢要な役割を果たすことから、この論理の適用範囲は数学の分野に限定されず、自然科学全体に及ぶ(p.24)。
なお、さきほど私は、カッシーラーは性質概念と関係概念を区別していないのではないかと述べたが、関数概念の導入によってこの区別にこだわる必要性がなくなることが分かるだろう。なぜなら、「Aは赤い」や「Aは2個ある」といった性質概念は1変数の関数概念であり、「AはBより大きい」や「AはBに後続する」、あるいは「AはBをCに渡す」といった関係概念は2変数以上の関数概念だからである。性質概念と関係概念はそれぞれ、関数概念のもとに統一されるということで、後者の方が上位概念であることが分かる。
思想史的背景
本書の内容に入る前に、本書が執筆された思想史的背景を簡単に概観したい。エルンスト・カッシーラーは新カント派のマールブルク学派の伝統で育ったドイツの哲学者である。1870年代から1920年代にかけてドイツで栄えた新カント派には、大きく分けてマールブルク学派とバーデン学派（西南ドイツ学派）があった。この二つの学派は、当時興隆しつつあったリヒャルト・アヴェナリウスやエルンスト・マッハ流の実証主義に対抗するという目的意識において共通していた。しかし、人文諸学と自然科学の認識論・方法論上の違いを強調するバーデン学派に対し、マールブルク学派の論者たちは、あくまで科学的認識の統一的把握を重視した。すなわち、バーデン学派の論者たちが、自然科学の領域においては実証主義的な理解を概ね認めつつ、そうした理解が人文諸学の領域へ侵食するのを防ぐことに関心を持っていたのに対し、マールブルク学派の論者たちは、自然科学の領域における実証主義の誤りを示すことが、とりもなおさず、人文諸学における実証主義の誤りを示すことにもなる、という前提に立っていた。前者が歴史学や心理学に、そして後者が数学や厳密科学の基礎論に力点を置くのはこのためである。
マールブルク学派の創始者で、のちにカッシーラーの先生になるのがヘルマン・コーエンである。コーエンの哲学の特徴は、その独特のカント理解と、その発生論的な認識論にある。1870年代当時、リーマン幾何学の発見や、マックスウェル電磁気学の成立による力学的世界観の崩壊が、ユークリッド幾何学をアプリオリな直観形式として捉え、力学的世界観をその哲学体系の前提としていたカントの哲学に対する根本的な疑念を投げかけていた。コーエンの関心は、カント自身の方法を徹底することによって、カントの枠組みを当時の数学や自然科学の新たな成果と整合する形で刷新することにあった。彼は、人間の知におけるアプリオリな構造を、カントのように固定的なものとしてではなく、歴史的過程を通して発展するものとして捉えることによってこの刷新を行った。また、カントの「物自体」の概念を、現象の背後にあって我々の感覚経験をもたらす不可知の原因として考える代わりに、科学的認識を可能にするアプリオリな構造が、そこへ向かって収束しつつも、決して到達はしない理想的極限として再解釈した。コーエンのこの独自の認識論は、『実体概念と関数概念』におけるカッシーラーの議論に多大な影響を与えたと言える。というのも本書は、コーエンの認識批判のプロジェクトを、実際の科学的思考の発展史をたどることによって遂行するという趣旨の研究だからである。しかし、コーエンの影響を強調するあまり、カッシーラー独自の貢献を過小評価してはなるまい。とりわけ、経験論（したがって実証主義）が依拠する感覚経験からの「抽象」理論を批判するという論点において、カッシーラーの着眼の独創性が際立っていると言えよう。
第一節 アリストテレスの抽象理論
カッシーラーは、抽象理論の起源をアリストテレスの概念論に求めている。アリストテレスの概念論によれば、我々は、感覚に与えられる諸々の事物に共通の特徴を選び出すことによって概念を形成する。これが「抽象」(ἀφαίρεσις)と呼ばれるプロセスである。共通の特徴を持つ事物の集合は「種」(εἶδος)の概念を成し、これらの種もさらに、共通する特徴を持つ種の集合である「類」(γένος)の概念を成す。こうした類もさらに高次の類に対する種となることによって、類と種のヒエラルキー的構造が形成される。
ここで問題となるのは、いかにして意味のある抽象を、恣意的で無意味な抽象から区別するかである。例えば、桜桃と牛肉を「赤く、汁気が多く、食べられる」といった共通の特徴に基づいて概念化したとしても、我々の事物の理解に貢献することは何もないだろう(p.7)。アリストテレスにおいては、論理学を形而上学で補完することによってこの問題が回避されている（あるいはそもそも問題として意識されていないのかもしれない）。すなわち、抽象のプロセスによって我々が形成する概念は、存在論の次元における「実体」ないし「本質」(οὐσία)をそのまま捉えることができる、という想定によってこの問題が回避されているのである。上に挙げた桜桃と牛肉の例に関して言えば、事物の本質を捉え損なっているというわけである。このことから、実体概念がアリストテレスの論理学において中心的な役割を担っていることが見て取れる。そして注目すべきは、「AはBより大きい」や「AはBに後続する」といったような関係概念が、実体概念に対して従属的な地位しか与えられていないという事実である。すなわち、まず初めに実体が与えられていて、関係概念は後から、偶然的な限定として付加されるに過ぎない。カッシーラーの指摘するところによれば、アリストテレスに由来するこうした思考様式は、後世の論理学の発展において、一つの基層として伏在し続けている(pp.9-10)。（ところで初読の際、私が気になったのは、カッシーラーが性質概念と関係概念を区別していない点である。「量」や「質」といった性質概念は、二つ以上の項に関わる関係概念とは本来区別されるべきであるが、彼は前者をも関係概念として一括的に扱っている。しかしこの疑問は、後述するように、カッシーラーによる「関数概念」の導入によって氷解する）。
第二節 抽象理論の問題点
かくして、中世の普遍論争では、普遍者の実在性の如何が取り沙汰されるわけであるが、唯名論の陣営も実在論の陣営も、ともに次の暗黙的前提を共有し、疑うことはなかった。すなわち、普遍者とは、類似した諸事物から成る系列において、それらの事物が持つ共通の要素に他ならない、という前提である(p.10)。近世に入るとジョージ・バークリらの心理主義的批判が登場するが、事情はやはり同じである。彼らは抽象の理論を外的な事物の次元から、人間心理の次元に移し替えただけで、理論自体はそのまま保持されているからである(p.10)。 さて、カッシーラーは抽象理論に対して次の疑念を投げかける：「ここで展開された概念の理論は、具体的な〈科学〉において行われている手続きを充分かつ忠実に描き出しているであろうか？」(p.13)。彼の答えは「否」であり、その根拠はアリストテレスの抽象理論についても心理主義的な抽象理論についても本質的には同じである。アリストテレスの概念論に関して言えば、彼の理論が有効なのは精々、生物の分類などの分類学までであって、その領域を超えて数学的な概念を扱おうとすると、たちまち困難に直面する。というのも、単に事物のいくつかの特徴の模写を目指す経験的概念とは異なって、数学的概念は、諸事物の結合の原理を、思考によって構成することを通してしか生まれないからである。この論点は重要と思われるので、少々長いが引用しよう(pp.13-14)：
生成的定義を通じて、〈構成的〉連関を頭の中で確立することによって生み出される数学的概念は、事物の所与の現実におけるなんらかの実際的特徴を単に模写すると主張するにすぎない経験的概念とは区別される。後者の場合、事物の多様はそれ自身独立に存在し、ただ簡単な言語上のないし概念的な表現にまとめあげられるとされるのであるが、逆に前者の場合、単純な措定の作用からつぎつぎの綜合を通じて思惟形象(Denkgebilde)の体系的統合が作り上げられることによってはじめて考察の対象をなす多様が生み出されるということが肝要である。したがってそこでは、思惟に固有の作用である一定の関係連関の自由な産出が、単なる「抽象」と対立している。
ここに、カッシーラーがとりわけ抽象理論を取り上げ、それに依拠する実証主義を批判する理由を見て取ることができる。すなわち、実証主義的科学は思考の他律を招くからである。人間精神はただ機械的にデータを集め、その規則性を「思惟経済」の原則に従って記述するのではなく、概念を経験に適用することによって元々そこになかった新しいものを生み出していく、というわけである。こうしたモチーフにおいて、カッシーラーが紛れもなくカント主義の伝統の後継者であることが伺える。
カッシーラーは、数学的概念に関するJ・S・ミルの経験主義的な理論を検討することによってこの論点を敷衍する。曰く、一方でミルは、数学的概念の経験的起源を主張するために、概念と感覚的印象との類縁性を強調するが、他方で、こうした類縁性は数学的命題の必然的性格と両立しえない(p.15)。数学的命題が必然的であるのは、それが具体的な事実ではなく、仮言的形式間の関係に関わるからに他ならない(p.15)。勿論、ここで「仮言的形式」と言われているのが概念に相当する。
続いてカッシーラーは抽象の心理主義的理論を検討するが、論旨は本質的に同じである。この理論によれば、類似した知覚を同一視することによって概念が形成されるが、そもそも類似した知覚の系列を構成するためには、一つの知覚から次の知覚へと移行するための何らかの原理が必要である(p.17)。つまり、我々は予め「類似性」の原理を把握していなければ、類似した知覚の系列を構成できないはずであるから、概念の形成を説明するために知覚間の類似に訴える抽象理論は循環論に陥っている、というわけである。系列の整序原理（概念はその表現に過ぎない）は系列の要素とは論理的な階層性が異なるため、後者だけから前者は出て来ない。
第三節 関数概念
第三節でカッシーラーは「関数」の概念を導入する。抽象理論で特徴的なのは、具体的なものから抽象概念を得るとき、具体的なものにおける非本来的な要素を捨てていく、というプロセスである(pp.20-21)。個々の事物間の差異を考慮の埒外に置くという否定的な作用を通してこそ、我々は一般的概念に到達できるというわけである。しかし、こうした描像は数学的概念の場合には当て嵌まらない、とカッシーラーは指摘する(p.21)。なぜなら、抽象理論の描像に従えば、一般的概念から個々のケースを再現することは不可能なはずであるが、数学的概念の場合、普遍的な式から個々のケースを演繹できるからである。カッシーラーの挙げる例で言えば、二次曲線の一般形に具体的な定数を代入することによって、円の方程式や楕円の方程式が得られる(p.22)。また、こうした一般化を行うことによって、個々のケースに対する我々の理解も豊かになる。リーマン幾何学などのより高次の幾何学を通してこそ、我々は、通常のユークリッド空間の公理的構造をより明晰に把握することができる(p.23)。
かくして我々は、実体概念の思考様式に依拠する抽象理論とは異なる観点から、一般的概念を捉えることができる。カッシーラーはこの観点を、「数学的な関数概念の論理学」と呼んでいる(p.24)。この観点では、例えばaα1β1, aα2β2, aα3β3, … という系列が与えられたとき、我々は一足飛びにその共通の成分であるaに到達するのではなく、まずそれぞれのα, βをx, yといった変数で置き換える。かくして、系列全体が、f(x,y)=axyという一般形によって統一的に表現される(p.26)。これが、この論理によって得られた概念が「関数概念」と呼ばれる所以である。そして、関数概念は近代的な自然理解において枢要な役割を果たすことから、この論理の適用範囲は数学の分野に限定されず、自然科学全体に及ぶ(p.24)。
なお、さきほど私は、カッシーラーは性質概念と関係概念を区別していないのではないかと述べたが、関数概念の導入によってこの区別にこだわる必要性がなくなることが分かるだろう。なぜなら、「Aは赤い」や「Aは2個ある」といった性質概念は1変数の関数概念であり、「AはBより大きい」や「AはBに後続する」、あるいは「AはBをCに渡す」といった関係概念は2変数以上の関数概念だからである。性質概念と関係概念はそれぞれ、関数概念のもとに統一されるということで、後者の方が上位概念であることが分かる。
参考文献
- Skidelsky, Edward. 2012. Ernst Cassirer: The Last Philosopher of Culture. Princeton: Princeton University Press.
- Friedman, Michael. 2011. "Ernst Cassirer." The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2011 Edition), ed. Edward N. Zalta. URL = http://plato.stanford.edu/archives/spr2011/entries/cassirer/
2014年2月15日土曜日
確率は客観的か？Peirceの主観確率批判を手掛かりに
確率は客観的に存在するのか、それとも人間の頭の中にだけあるのか。この問題は確率の哲学的解釈における長年の論争のテーマである。ここでは、"The Probability of Induction" (1878)においてなされた、C. S. Peirceによる主観確率の批判を手掛かりにこの問題を考えてみたい。Peirceの批判が成功しているかどうかに関しては、私には判断を下すことはできないが、もし成功しているとしても（つまりもし確率の客観的解釈が正しいとしても）決定論はなお保持できるのか、それとも、Peirceとともに偶然主義tychismを支持するしかないのか、という問題についても併せて考えてみたい。
【Peirceによる主観確率批判】
Peirceの立場は頻度主義frequentismである。頻度主義によれば、ある事象の確率とはその事象の相対度数の極限値である。これは、ある事象の確率とはその事象に対する人間の信念の度合いであるとする主観確率の立場（Peirceの用語ではconceptualist view）と対立する。Peirceによれば、確率の主観的解釈は「全く道理に合わない」。なぜだろうか。
まず、確率は客観的か主観的かという問題を考える前に、確率とは「何の」確率か、という（関連する）問題を取り上げたい。確率が帰せられるのは事象についての信念なのか、事象そのものなのか、それとも命題か。この問題に対するPeirceの答えは明快である。すなわち、彼によれば確率が帰せられるのは「もし～ならば…」という形の推論である。「もし賽子を振るならば、1の目が出る」という推論の確率は6分の1である、というようにである。この見方に従えば、条件節がなければ確率概念はそもそも意味をなさない。我々はしばしば事象そのものの確率について語るが、Peirceによれば、これは条件節が自明であるために省略されているだけである。換言すれば、すべての確率は条件付き確率である。これはAndrei Kolmogorovが『確率論の基礎概念』で行った確率の公理化と一致するものであり、極めて現代的な見方と言える。
さて、Peirceによる主観主義批判はBayesの定理の使い方を巡るものである。Bayesの定理は次のように書かれる：
P(Z | Y∧X) = P(Y | Z∧X) • P(Z | X) / P(Y | X)
あるいは右辺の分母を展開して
P(Z | Y∧X) = P(Y | Z∧X) • P(Z | X) / [P(Y | Z∧X) • P(Z | X) + P(Y | ¬Z∧X) • P(¬Z | X)]
Peirceの批判はBayesの定理そのものに対する批判ではない。この定理は、確率論の公理から演繹的に導かれるものである。Peirceの批判はあくまで、この定理の帰納推論への適用、すなわち確率の逆算法Method of Inverse Probabilitiesと呼ばれる方法に向けられている。彼によれば、確率の逆算法は帰納を演繹に帰着させようとするが、そんなことは不可能である。
まず、確率の逆算法を説明する前に、確率の通常の算法を見てみよう。黒玉50個と、白玉50個の入った壺を考える。この中から10個の玉をランダムに、かつ引いた玉を壺に戻しながら引いていくとする。このとき、例えば黒玉5個と白玉5個を引く確率を、演繹的に求めることができる。Uを壺の構成を与える命題（黒玉50個、白玉50個）、Xを引き方に関する背景情報（ランダムに、かつ戻しながら）、Sを引いたサンプルを与える命題（黒玉5個、白玉5個）とすると、求める確率はP(S | U∧X)と書ける。これはBernoulli試行であるから、
P(S | U∧X) = 10C5 • (1/2)^5 • (1/2)^5 = 63/256
と求めることができる。ここで重要なのは、壺の中身があらかじめ分かっていることである。確率の逆算法は、壺の中身が分からない場合に、壺の中身を推定するための方法である。すなわち、Bayesの定理を適用することによってP(U | S∧X)を求める方法である。これはサンプルから母集団への帰納推論S∧X ⇒ Uの確率であるから、Pierre-Simon Laplace、Augustus De Morgan、Adolphe Queteletらは、この方法によって帰納の問題を解決したと信じていた。実際、Bayesの定理によって、
P(U | S∧X) = P(S | U∧X) • P(U | X) / P(S | X)
と書ける。しかし、左辺を求めるには、右辺のP(U | X)があらかじめ分かっていないといけない。このP(U | X)を「事前確率」prior probabilityと呼ぶ。しかし、事前確率を事前に確定する方法はない——P(U | X)が分かっていればそもそも壺の中身を推定する意味がない——から、確率の逆算法の使用者は「不充足理由律」Principle of Insufficient Reason、あるいは後にJ. M. Keynesによって「無差別の原理」Principle of Indifferenceと呼ばれるようになる原理に訴える。これは、相互に排他的かつすべての可能性を尽くす事象（推論）がn個あり、それぞれの事象（推論）の確率についての情報が全くないとき、それぞれの事象（推論）に1/nの確率を割り振る、という原理である。壺の中身を述べる推論の場合、X ⇒ UとX ⇒ ¬Uの二通りの場合があるから、P(U | X) = P(¬U | X) = 1/2とするわけである。
Peirceが噛み付くのはここである。確率の逆算法の使用者が求めようとしているのは、「事実（この場合は壺の構成）が、帰納推論の結果に適合する確率」である。つまり彼らは、壺の中身についての可能世界を立ち上げ、それぞれの可能世界が我々の帰納推論の結果に適合している確率を求めようとしているのである。Peirceによれば、求めることができるのは——そして帰納推論の場合、求めるべきは——逆に「帰納推論の結果が、事実に適合する確率」である。すなわち、壺の中身を述べる命題Uを事実ないし「仮説」として一旦承認した上での、サンプルがこの仮説に適合する確率P(S | U∧X)である。このP(S | U∧X)が、上で述べた確率の通常の算法におけるP(S | U∧X)と異なるのは、ここではUは既知ではなく仮説として承認されているに過ぎないという点である。この方法が、統計学で「仮説検定」hypothesis testingと呼ばれるようになる方法である。帰納推論に確率を付与することはできないが、その代わりに、ある誤差の範囲内で帰納が成功している確率である「確からしさ」verisimilitudeを付与することができる、とPeirceは言う。他方で、「事実が、帰納推論の結果に適合する確率」を求めることが可能であるのは、我々の世界だけでなくすべての可能世界を見渡し、それぞれに確率を割り振ることができる場合だけである。Peirceは次のように言う：
【批評】
以上、Peirceによる主観確率批判を見てきたが、彼の批判は論点先取りであるように見える。客観的な値の代わりに、「無差別の原理」に基づいて主観的な値を事前確率に割り振ることがいけないのは、Peirceがすでに頻度主義の立場に立っているからであろう。しかし、主観確率がナンセンスであることを示すために彼は次のような例も挙げている。少々長いが全文引用しよう：
【偶然主義】
確率は客観的か主観的か、という問題に関して私は最終的な判断を保留するが、主観確率には収束する傾向が存在するということで、私はPeirceとともに客観的解釈の方にやや傾いている。しかし、確率が客観的に存在するとはどういうことだろうか？決定論が破れるということだろうか？実際、Peirceは「純粋な偶然が存在する」という偶然主義の立場を採っているが、これを避けることはできないのだろうか？
確率の「客観性」は、それが述定する推論が成功する（十分長期的な）相対頻度から来る。すなわち、確率が客観的と言えるのは、推論が実現するかどうかが、我々がコントロールできない事実によって決まるからである。もちろん、どんな確率も収束するというわけではない。先のPeirceの引用における土星人の髪の色の確率は当然収束しないが、賽子の出目の確率は一つの極限値へ収束する。
とはいえ、賽子の出目は、よりミクロのレベルで見れば決定論的な法則に従っていることを我々は知っている（ここでは量子効果は考えない）。ゆえに、賽子の出目の確率が客観的であったとしても、自然の階層性を区別することによって、決定論と両立させることができるように思われる。この見方に従えば、結局、確率は観測者の側における情報不足に帰せられることになり、そういう意味では主観的であるが、一つの極限値へ収束するという意味で、確率はやはり客観的な側面をも持つと言える。では、主観確率と客観確率ではすべての可能性が尽くされていないということだろうか？これを考えるには、「自然の階層性」という概念の中身をもっとはっきりさせる必要がある。
【Peirceによる主観確率批判】
Peirceの立場は頻度主義frequentismである。頻度主義によれば、ある事象の確率とはその事象の相対度数の極限値である。これは、ある事象の確率とはその事象に対する人間の信念の度合いであるとする主観確率の立場（Peirceの用語ではconceptualist view）と対立する。Peirceによれば、確率の主観的解釈は「全く道理に合わない」。なぜだろうか。
まず、確率は客観的か主観的かという問題を考える前に、確率とは「何の」確率か、という（関連する）問題を取り上げたい。確率が帰せられるのは事象についての信念なのか、事象そのものなのか、それとも命題か。この問題に対するPeirceの答えは明快である。すなわち、彼によれば確率が帰せられるのは「もし～ならば…」という形の推論である。「もし賽子を振るならば、1の目が出る」という推論の確率は6分の1である、というようにである。この見方に従えば、条件節がなければ確率概念はそもそも意味をなさない。我々はしばしば事象そのものの確率について語るが、Peirceによれば、これは条件節が自明であるために省略されているだけである。換言すれば、すべての確率は条件付き確率である。これはAndrei Kolmogorovが『確率論の基礎概念』で行った確率の公理化と一致するものであり、極めて現代的な見方と言える。
さて、Peirceによる主観主義批判はBayesの定理の使い方を巡るものである。Bayesの定理は次のように書かれる：
P(Z | Y∧X) = P(Y | Z∧X) • P(Z | X) / P(Y | X)
あるいは右辺の分母を展開して
P(Z | Y∧X) = P(Y | Z∧X) • P(Z | X) / [P(Y | Z∧X) • P(Z | X) + P(Y | ¬Z∧X) • P(¬Z | X)]
Peirceの批判はBayesの定理そのものに対する批判ではない。この定理は、確率論の公理から演繹的に導かれるものである。Peirceの批判はあくまで、この定理の帰納推論への適用、すなわち確率の逆算法Method of Inverse Probabilitiesと呼ばれる方法に向けられている。彼によれば、確率の逆算法は帰納を演繹に帰着させようとするが、そんなことは不可能である。
まず、確率の逆算法を説明する前に、確率の通常の算法を見てみよう。黒玉50個と、白玉50個の入った壺を考える。この中から10個の玉をランダムに、かつ引いた玉を壺に戻しながら引いていくとする。このとき、例えば黒玉5個と白玉5個を引く確率を、演繹的に求めることができる。Uを壺の構成を与える命題（黒玉50個、白玉50個）、Xを引き方に関する背景情報（ランダムに、かつ戻しながら）、Sを引いたサンプルを与える命題（黒玉5個、白玉5個）とすると、求める確率はP(S | U∧X)と書ける。これはBernoulli試行であるから、
P(S | U∧X) = 10C5 • (1/2)^5 • (1/2)^5 = 63/256
と求めることができる。ここで重要なのは、壺の中身があらかじめ分かっていることである。確率の逆算法は、壺の中身が分からない場合に、壺の中身を推定するための方法である。すなわち、Bayesの定理を適用することによってP(U | S∧X)を求める方法である。これはサンプルから母集団への帰納推論S∧X ⇒ Uの確率であるから、Pierre-Simon Laplace、Augustus De Morgan、Adolphe Queteletらは、この方法によって帰納の問題を解決したと信じていた。実際、Bayesの定理によって、
P(U | S∧X) = P(S | U∧X) • P(U | X) / P(S | X)
と書ける。しかし、左辺を求めるには、右辺のP(U | X)があらかじめ分かっていないといけない。このP(U | X)を「事前確率」prior probabilityと呼ぶ。しかし、事前確率を事前に確定する方法はない——P(U | X)が分かっていればそもそも壺の中身を推定する意味がない——から、確率の逆算法の使用者は「不充足理由律」Principle of Insufficient Reason、あるいは後にJ. M. Keynesによって「無差別の原理」Principle of Indifferenceと呼ばれるようになる原理に訴える。これは、相互に排他的かつすべての可能性を尽くす事象（推論）がn個あり、それぞれの事象（推論）の確率についての情報が全くないとき、それぞれの事象（推論）に1/nの確率を割り振る、という原理である。壺の中身を述べる推論の場合、X ⇒ UとX ⇒ ¬Uの二通りの場合があるから、P(U | X) = P(¬U | X) = 1/2とするわけである。
Peirceが噛み付くのはここである。確率の逆算法の使用者が求めようとしているのは、「事実（この場合は壺の構成）が、帰納推論の結果に適合する確率」である。つまり彼らは、壺の中身についての可能世界を立ち上げ、それぞれの可能世界が我々の帰納推論の結果に適合している確率を求めようとしているのである。Peirceによれば、求めることができるのは——そして帰納推論の場合、求めるべきは——逆に「帰納推論の結果が、事実に適合する確率」である。すなわち、壺の中身を述べる命題Uを事実ないし「仮説」として一旦承認した上での、サンプルがこの仮説に適合する確率P(S | U∧X)である。このP(S | U∧X)が、上で述べた確率の通常の算法におけるP(S | U∧X)と異なるのは、ここではUは既知ではなく仮説として承認されているに過ぎないという点である。この方法が、統計学で「仮説検定」hypothesis testingと呼ばれるようになる方法である。帰納推論に確率を付与することはできないが、その代わりに、ある誤差の範囲内で帰納が成功している確率である「確からしさ」verisimilitudeを付与することができる、とPeirceは言う。他方で、「事実が、帰納推論の結果に適合する確率」を求めることが可能であるのは、我々の世界だけでなくすべての可能世界を見渡し、それぞれに確率を割り振ることができる場合だけである。Peirceは次のように言う：
自然のあの配列やこの配列の相対確率について語る権利が我々にあるのは、宇宙が黒苺のように豊富に存在し、それらのある量を袋に入れ、よく混ぜてサンプルを抽出し、ある配列を持つ宇宙と別の配列を持つ宇宙のそれぞれの割合を調べることができる場合［だけ］である。[The relative probability of this or that arrangement of Nature is something which we should have a right to talk about if universes were as plenty as blackberries, if we could put a quantity of them in a bag, shake them well up, draw out a sample, and examine them to see what proportion of them had one arrangement and what proportion another.] (Collected Papers 2.684)しかし、宇宙はもちろん一つだけである。ゆえに「自然のあの配列やこの配列」について語るのはナンセンスである。そして仮に、宇宙が複数あったとしても、それらを含むより大きな宇宙が存在するはずであるから、事情はやはり同じである。要するに、事前確率に正しい値（客観的な値）を割り振るにはすべての可能世界を見渡す必要があるが、そんなことは不可能であるから、確率の逆算法の使用者は正しい値の代わりに主観的な確率を忍び込ませている、というわけである。
【批評】
以上、Peirceによる主観確率批判を見てきたが、彼の批判は論点先取りであるように見える。客観的な値の代わりに、「無差別の原理」に基づいて主観的な値を事前確率に割り振ることがいけないのは、Peirceがすでに頻度主義の立場に立っているからであろう。しかし、主観確率がナンセンスであることを示すために彼は次のような例も挙げている。少々長いが全文引用しよう：
確率の概念的［主観的］見方では、仮説を支持する方向にも反対する方向にも傾くべきではないような完全な無知［の状況］は、1/2という確率によって表される。では、土星人の髪の色について我々が完全に無知であったとしよう。そして、あらゆる可能な色が示されたカラー表があったとしよう。この表では、すべての色が互いに知覚不可能な度合いでグラデーションをなしており、異なる色のクラスによって占められる領域の相対的な面積は全く恣意的である。こうした領域の一つを線で囲い、土星人の髪の色がこの領域内の色である確率を、概念的見方の諸原理に従って考えてみよう。我々は何らかの信念状態にあるはずだから、答えは不定であってはならない。実際、概念主義に立つ論者たちは不定な確率を認めない。確実なことは何も言えないので、答えは0と1の間である。そして、データからいかなる数値も得ることができないので、値はデータの計算ではなく確率の目盛りそのものの性質によって決めるしかない。ゆえに答えは1/2でしかありえない。なぜなら、［我々の］判断は仮説を支持するわけにも反対するわけにもいかないからである。さて、この領域について成り立つことは他のどの領域についても成り立ち、この二つの領域を含む第三の領域についても同様である。そして、二つの小領域の確率はそれぞれ1/2であるから、この第三の領域の確率は少なくても1であるはずである。しかしこれはナンセンスである。[In the conceptualistic view of probability, complete ignorance, where the judgment ought not to swerve either toward or away from the hypothesis, is represented by the probability 1/2. But let us suppose that we are totally ignorant what colored hair the inhabitants of Saturn have. Let us, then, take a color-chart in which all possible colors are shown shading into one another by imperceptible degrees. In such a chart the relative areas occupied by different classes of colors are perfectly arbitrary. Let us inclose such an area with a closed line, and ask what is the chance on conceptualistic principles that the color of the hair of the inhabitants of Saturn falls within that area? The answer cannot be indeterminate because we must be in some state of belief; and, indeed, conceptualistic writers do not admit indeterminate probabilities. As there is no certainty in the matter, the answer lies between zero and unity. As no numerical value is afforded by the data, the number must be determined by the nature of the scale of probability itself, and not by calculation from the data. The answer can, therefore, only be one-half, since the judgment should neither favor nor oppose the hypothesis. What is true of this area is true of any other one; and it will equally be true of a third area which embraces the other two. But the probability for each of the smaller areas being one-half, that for the larger should be at least unity, which is absurd.] (Collected Papers 2.679)確かに、この結論はナンセンスである。このような結論が得られたのは、実際は確率が等しいわけではない（どころか存在すらしていない）事象に、「無差別の原理」によって等しい確率を割り振ってしまったからである。他方で、Bayes推定を繰り返すことによって、誤った確率（主観確率）を正しい確率（客観確率）に近づけることができるのもまた事実である。しかし、これもやはり主観確率が収束するべき客観確率が存在するということだろうか？
【偶然主義】
確率は客観的か主観的か、という問題に関して私は最終的な判断を保留するが、主観確率には収束する傾向が存在するということで、私はPeirceとともに客観的解釈の方にやや傾いている。しかし、確率が客観的に存在するとはどういうことだろうか？決定論が破れるということだろうか？実際、Peirceは「純粋な偶然が存在する」という偶然主義の立場を採っているが、これを避けることはできないのだろうか？
確率の「客観性」は、それが述定する推論が成功する（十分長期的な）相対頻度から来る。すなわち、確率が客観的と言えるのは、推論が実現するかどうかが、我々がコントロールできない事実によって決まるからである。もちろん、どんな確率も収束するというわけではない。先のPeirceの引用における土星人の髪の色の確率は当然収束しないが、賽子の出目の確率は一つの極限値へ収束する。
とはいえ、賽子の出目は、よりミクロのレベルで見れば決定論的な法則に従っていることを我々は知っている（ここでは量子効果は考えない）。ゆえに、賽子の出目の確率が客観的であったとしても、自然の階層性を区別することによって、決定論と両立させることができるように思われる。この見方に従えば、結局、確率は観測者の側における情報不足に帰せられることになり、そういう意味では主観的であるが、一つの極限値へ収束するという意味で、確率はやはり客観的な側面をも持つと言える。では、主観確率と客観確率ではすべての可能性が尽くされていないということだろうか？これを考えるには、「自然の階層性」という概念の中身をもっとはっきりさせる必要がある。
参考文献
- Burch, Robert. 2010. "If Universes Were as Plenty as Blackberries: Peirce on Induction and Verisimilitude." Transactions of the Charles S. Peirce Society 46 (3): pp.423-452.
- Peirce, Charles Sanders. 1878. "The Probability of Induction." in Collected Papers of Charles Sanders Peirce vol. 2, ed. Charles Hartshorne and Paul Weiss. Cambridge, Mass: Harvard University Press.
2014年2月12日水曜日
Three Criticisms of Meillassoux's Argument in "Potentialité et virtualité"
I have three criticisms of Quentin Meillassoux's argument in "Potentialité et virtualité" (which I read in Japanese translation).
(1) Meillassoux does not make clear his ontology regarding mathematical objects. Since he bases his argument on set theory, and draws conclusions about the experiential universe from these arguments, he may be assuming a Platonist ontology. But in that case, he needs an account of how these Platonic mathematical entities manifest themselves in the experiential world. (However, he may have already given such an account elsewhere, which I am simply unaware of). It is possible to reject Meillassoux's entire project of drawing conclusions from mathematics by rejecting the (presumably) Platonist framework upon which he depends.
(2) Meillassoux's polemic against the argument for Uniformity (as well as the Anthropic Principle) from probabilistic reasoning, based on the contention that universes are not as plenty as blackberries, may be granted. However, the argument for Uniformity is not the only argument for the reality of necessity. We may simply reject the kind of Uniformity assumed by Meillassoux, viz. a Uniformity based on set theoretic reasoning, and instead endorse a Spinozist conception of necessity, in which everything that happens in the universe is on par with mathematical truth. In this view, the "universe of logical possibilities" that Meillassoux speaks of is construed as the product of epistemic limitations on the part of humans, rather than as objective and pre-existing.
(3) Meillassoux leaps from epistemology to ontology. This is justified, given Meillassoux's unrelenting rationalist position, which rejects the epistemology/ontology distinction altogther, on grounds that the distinction is based on experience rather than reason. However, we can again reject Meillassoux's conclusion by altogther rejecting his framework of drawing philosophical conclusions from logic and logic only.
(1) Meillassoux does not make clear his ontology regarding mathematical objects. Since he bases his argument on set theory, and draws conclusions about the experiential universe from these arguments, he may be assuming a Platonist ontology. But in that case, he needs an account of how these Platonic mathematical entities manifest themselves in the experiential world. (However, he may have already given such an account elsewhere, which I am simply unaware of). It is possible to reject Meillassoux's entire project of drawing conclusions from mathematics by rejecting the (presumably) Platonist framework upon which he depends.
(2) Meillassoux's polemic against the argument for Uniformity (as well as the Anthropic Principle) from probabilistic reasoning, based on the contention that universes are not as plenty as blackberries, may be granted. However, the argument for Uniformity is not the only argument for the reality of necessity. We may simply reject the kind of Uniformity assumed by Meillassoux, viz. a Uniformity based on set theoretic reasoning, and instead endorse a Spinozist conception of necessity, in which everything that happens in the universe is on par with mathematical truth. In this view, the "universe of logical possibilities" that Meillassoux speaks of is construed as the product of epistemic limitations on the part of humans, rather than as objective and pre-existing.
(3) Meillassoux leaps from epistemology to ontology. This is justified, given Meillassoux's unrelenting rationalist position, which rejects the epistemology/ontology distinction altogther, on grounds that the distinction is based on experience rather than reason. However, we can again reject Meillassoux's conclusion by altogther rejecting his framework of drawing philosophical conclusions from logic and logic only.
2014年2月6日木曜日
近藤和敬「問題－認識論と問い－存在論」について
『現代思想』2014年01月号掲載の、近藤さんの「問題－認識論と問い－存在論」について、雑感をまとめてみました。
私の理解では、近藤さんの言う「問題」とは、Peirceの言う「指をさす」に相当する。例として、Kuhnのパラダイム論で考えてみたい。Kuhnによれば、科学革命前後の概念は通約不可能である。つまり、ニュートンにとっての質量概念とアインシュタインにとっての質量概念は全く別物である。しかし、本当の意味でこれらの概念が通約不可能なら、「通約不可能である」と言うこと自体、不可能であるはず。なぜなら、両者を比較するための共通の土俵が必要だから。同じsubject matterに関心を払っているからこそ、理論の側に断絶があっても、対象の側は断絶の前後を通して保存される（Bhaskarはこれを、科学の「他動詞」的次元と呼んでいる）。
しかし、Peirceにとっては、我々が直接触れることができるのは第三性、つまり媒介的な記号だけである。したがって保存されるものに対しては、「指をさす」ことしかできない、と彼は言う（これがindexicalの働き）。Peirceは紛れもなく観念論者だが、indexicalを導入することによって観念の網目を外部に向けて開く、「客観的」観念論者なわけだ。
さて、近藤さんは「問題」の潜勢力が「消尽」されると別の問題に移行する、と述べている（ちなみに、これをPeirceの「疑念」と「信念」の文脈で考えてみるのは面白そう）。しかし、問題が変わってしまったら、同じsubject matterであるための足場がなくなってしまうように思われる。それでは、断絶の前後を通して、もはや同じ事柄について語っているとは言えないのではないか。多分、近藤さんもこれを分かっていて承認しているし、郡司さんがKripkeを引いて「暗闇の中の跳躍」と言ってるのもこういうことだろう。これがDeleuze的な発想なのかもしれない。しかし、自分には、これは現実の科学活動に即していないように思える。現実には、理論間に断絶があっても、「問題」自体は保存されているように見える。あるいは、仮に問題設定の移行があったとしても、移行前の問題を極限事例として導出可能にするような、より包括的な問題が設定されるはずである。言い換えれば、問題の移行は、次の格率に従ってなされているように思われる：移行後の問題に対する解は、移行前の問題に対する解でもなければならない。近藤さんが目指しているのは「内在性」の合理主義のようだが、私は「俯瞰」のモメントをもっと強調したい。
Meillassouxに対する近藤さんの批判には、同意する。すなわちMeillassouxは認識論と存在論の区別に無頓着であるという批判である（ただし、これはMeillassouxの立場が内的整合性を欠くという意味ではない。むしろ、Meillassouxの立場は最も強力な意味で論駁不可能であるように思われる。しかし、不自然ではあると思う。そして、私はMeillassouxほど合理主義者ではないので、論駁不可能性よりは自然さを重視する）。しかし、近藤さんの言う「問題－認識論」と「問い－存在論」の関係は、正直よく理解できなかった。この区別は、視点による区別なのだろうか。
私の理解では、Meillassouxの議論に認識論と存在論の区別を持ち込むならば、偶然性は認識論の側に回収される。近藤さんの記述にも、これと符合しそうな箇所がある：
「一挙に展開し、見渡すことができない」のはあくまで認識者であるから、これは認識論の側の話である。ならば、存在論の側では、必然性が成り立っていてもいいはず。しかし、近藤さんは「問題」を存在論の次元でも考えているようである（彼がDe Landaを評価するのはその点である。p.63参照）。また、「問い－存在論」には「非対称性」が存続し続ける、と彼は言う(p.71)。しかし、私にはこれは認識論の話にしか聞えない。もともと、歴史的にも発生論的にも、認識論と存在論の区別が導入されたのは、偶然性や認知の誤謬を前者の側に回収するためであろう。しかし、どうせ回収するなら、最後まで回収してしまうのが自然ではなかろうか。どうして途中でやめてしまうのだろう。あるいは、私が近藤さんの「問題－認識論」と「問い－存在論」の区別をやはり理解できていないだけかもしれないが。
私の理解では、近藤さんの言う「問題」とは、Peirceの言う「指をさす」に相当する。例として、Kuhnのパラダイム論で考えてみたい。Kuhnによれば、科学革命前後の概念は通約不可能である。つまり、ニュートンにとっての質量概念とアインシュタインにとっての質量概念は全く別物である。しかし、本当の意味でこれらの概念が通約不可能なら、「通約不可能である」と言うこと自体、不可能であるはず。なぜなら、両者を比較するための共通の土俵が必要だから。同じsubject matterに関心を払っているからこそ、理論の側に断絶があっても、対象の側は断絶の前後を通して保存される（Bhaskarはこれを、科学の「他動詞」的次元と呼んでいる）。
しかし、Peirceにとっては、我々が直接触れることができるのは第三性、つまり媒介的な記号だけである。したがって保存されるものに対しては、「指をさす」ことしかできない、と彼は言う（これがindexicalの働き）。Peirceは紛れもなく観念論者だが、indexicalを導入することによって観念の網目を外部に向けて開く、「客観的」観念論者なわけだ。
さて、近藤さんは「問題」の潜勢力が「消尽」されると別の問題に移行する、と述べている（ちなみに、これをPeirceの「疑念」と「信念」の文脈で考えてみるのは面白そう）。しかし、問題が変わってしまったら、同じsubject matterであるための足場がなくなってしまうように思われる。それでは、断絶の前後を通して、もはや同じ事柄について語っているとは言えないのではないか。多分、近藤さんもこれを分かっていて承認しているし、郡司さんがKripkeを引いて「暗闇の中の跳躍」と言ってるのもこういうことだろう。これがDeleuze的な発想なのかもしれない。しかし、自分には、これは現実の科学活動に即していないように思える。現実には、理論間に断絶があっても、「問題」自体は保存されているように見える。あるいは、仮に問題設定の移行があったとしても、移行前の問題を極限事例として導出可能にするような、より包括的な問題が設定されるはずである。言い換えれば、問題の移行は、次の格率に従ってなされているように思われる：移行後の問題に対する解は、移行前の問題に対する解でもなければならない。近藤さんが目指しているのは「内在性」の合理主義のようだが、私は「俯瞰」のモメントをもっと強調したい。
Meillassouxに対する近藤さんの批判には、同意する。すなわちMeillassouxは認識論と存在論の区別に無頓着であるという批判である（ただし、これはMeillassouxの立場が内的整合性を欠くという意味ではない。むしろ、Meillassouxの立場は最も強力な意味で論駁不可能であるように思われる。しかし、不自然ではあると思う。そして、私はMeillassouxほど合理主義者ではないので、論駁不可能性よりは自然さを重視する）。しかし、近藤さんの言う「問題－認識論」と「問い－存在論」の関係は、正直よく理解できなかった。この区別は、視点による区別なのだろうか。
私の理解では、Meillassouxの議論に認識論と存在論の区別を持ち込むならば、偶然性は認識論の側に回収される。近藤さんの記述にも、これと符合しそうな箇所がある：
科学的認識においてこのような「問題」の次元こそが先行するものであるとすれば、そしてメイヤスーが言及するような「定数」や「定性」や「法則」が、結局のところすべて「解」の次元でしかないと認めるとすれば、科学的認識によって措定される「法則」が、メタ水準で必然的ではなく、「偶然的」であるとしても（もちろん、その「法則」の枠内では、「法則」それ自体は必然的である）、何のパラドックスもない。いかなる存在者も、「問題」から「問題」への移行を一挙に展開し、見渡すことができないのだから（もしできるものがいると考えるなら、それは「問題」の固有性を認めないということに等しい）、「問題」の展開は、常に「潜在的」であり、その「潜在性」は歴史による現実的な展開を、ただひたすら待つことによってのみ、したがってメイヤスーとデランダがともに指摘するように「偶然」によってのみ実現される。(p.69)
「一挙に展開し、見渡すことができない」のはあくまで認識者であるから、これは認識論の側の話である。ならば、存在論の側では、必然性が成り立っていてもいいはず。しかし、近藤さんは「問題」を存在論の次元でも考えているようである（彼がDe Landaを評価するのはその点である。p.63参照）。また、「問い－存在論」には「非対称性」が存続し続ける、と彼は言う(p.71)。しかし、私にはこれは認識論の話にしか聞えない。もともと、歴史的にも発生論的にも、認識論と存在論の区別が導入されたのは、偶然性や認知の誤謬を前者の側に回収するためであろう。しかし、どうせ回収するなら、最後まで回収してしまうのが自然ではなかろうか。どうして途中でやめてしまうのだろう。あるいは、私が近藤さんの「問題－認識論」と「問い－存在論」の区別をやはり理解できていないだけかもしれないが。
2014年2月2日日曜日
【メモ】 Stewart Shapiro / Thinking About Mathematics: The Philosophy of Mathematics
【論理主義】
一つ前の記事参照。
【直観主義】
・直観主義は排中律の拒否に尽きるわけではない。直観主義の根本にあるのは「数学は心的に構成される」という哲学であって、排中律の拒否はその一つの帰結に過ぎない。その他にも例えば、被定義項を含む集合への言及を含む非可述的定義の拒否がある。直観主義の理解では、言及される集合は構成に先立って存在するわけではないから、こうした非可述的定義は循環していることになる。これは排中律の拒否とは論理的に独立。また、可能無限の立場も排中律の拒否だけからは出てこない。確かに ¬∀xPx ⇒ ¬¬∃x¬Px ⇒ ∃x¬Px という推論は排中律の拒否によってブロックされるが、これが直ちに可能無限の立場を意味するわけではない。
・まだちゃんと考えたわけではないものの、直観主義論理と古典論理のどちらが「正しい」かという問いには答えがない気がする。現象論のレベルでは古典論理が有用だけれど量子のレベルでは分配律が破れるのと同様、記述対象に応じた使い分けの問題なのかもしれない。 例えば宇宙の状態は一意的に確定できないというRovelli流のRQMには直観主義論理が適しているように見える。
・Dummetの直観主義は謎。
【プラトニズム】
"But, despite their remoteness from sense experience, we do have something like a perception of the objects of set theory, as is seen from the fact that the axioms force themselves upon us as being true. I don't see any reason why we should have any less confidence in this kind of perception, i.e., in mathematical intuition, than in sense perception, which induces us to build up physical theories and to expect that future sense perceptions will agree with them." (Kurt Gödel, "What is Cantor's Continuum Problem")
[F]or Gödel, the independence of CH from ZFC shows that "these axioms do not contain a complete description of reality." (p.210)
→ ゆえにCHの真偽を確定するためには、ZFCを超出しなければならない。不完全性定理の証明において、算術体系の命題を決定するために算術体系を超出したのと同様に。
the "notion of analyticity ... just subsides into the humbler domain where its supporting intuitions hold sway: the domain of language learning and empirical semantics." (W. V. O. Quine, "Reply to Geoffrey Hellman")
To echo Mill, we know by experience that [mathematical] intuition is reliable. (p.224)
【虚構主義】
Arithmetic and real analysis can be simulated in space-time, using certain space-time points and regions as surrogates for numbers. One can also formulate a version of the continuum hypothesis in Field's synthetic physics. (p.232)
→ しかしこれは構造が等価と言ってるだけで、CHは構造そのものだとすれば、結局Fieldは数学をやっていることになるのでは、ってツッコミながら読んでたら、後でShapiroが同じこと言ってた。
Let P be a scientific statement that makes reference to say, real numbers, and let P' be a nominalistic reconstrual of P. The hermeneutic nominalist claims that P and P' have the same meaning, and so despite appearances, P does not really make any reference to real numbers. Burgess and Rosen point out that if P and P' do have the same meaning, then one is justified in the opposite conclusion: despite appearances, P' does make reference to real numbers, since it has the same meaning as P. After all, synonymy is a symmetric relation ... (p.248)
一つ前の記事参照。
【直観主義】
・直観主義は排中律の拒否に尽きるわけではない。直観主義の根本にあるのは「数学は心的に構成される」という哲学であって、排中律の拒否はその一つの帰結に過ぎない。その他にも例えば、被定義項を含む集合への言及を含む非可述的定義の拒否がある。直観主義の理解では、言及される集合は構成に先立って存在するわけではないから、こうした非可述的定義は循環していることになる。これは排中律の拒否とは論理的に独立。また、可能無限の立場も排中律の拒否だけからは出てこない。確かに ¬∀xPx ⇒ ¬¬∃x¬Px ⇒ ∃x¬Px という推論は排中律の拒否によってブロックされるが、これが直ちに可能無限の立場を意味するわけではない。
・まだちゃんと考えたわけではないものの、直観主義論理と古典論理のどちらが「正しい」かという問いには答えがない気がする。現象論のレベルでは古典論理が有用だけれど量子のレベルでは分配律が破れるのと同様、記述対象に応じた使い分けの問題なのかもしれない。 例えば宇宙の状態は一意的に確定できないというRovelli流のRQMには直観主義論理が適しているように見える。
・Dummetの直観主義は謎。
【プラトニズム】
"But, despite their remoteness from sense experience, we do have something like a perception of the objects of set theory, as is seen from the fact that the axioms force themselves upon us as being true. I don't see any reason why we should have any less confidence in this kind of perception, i.e., in mathematical intuition, than in sense perception, which induces us to build up physical theories and to expect that future sense perceptions will agree with them." (Kurt Gödel, "What is Cantor's Continuum Problem")
[F]or Gödel, the independence of CH from ZFC shows that "these axioms do not contain a complete description of reality." (p.210)
→ ゆえにCHの真偽を確定するためには、ZFCを超出しなければならない。不完全性定理の証明において、算術体系の命題を決定するために算術体系を超出したのと同様に。
the "notion of analyticity ... just subsides into the humbler domain where its supporting intuitions hold sway: the domain of language learning and empirical semantics." (W. V. O. Quine, "Reply to Geoffrey Hellman")
To echo Mill, we know by experience that [mathematical] intuition is reliable. (p.224)
【虚構主義】
Arithmetic and real analysis can be simulated in space-time, using certain space-time points and regions as surrogates for numbers. One can also formulate a version of the continuum hypothesis in Field's synthetic physics. (p.232)
→ しかしこれは構造が等価と言ってるだけで、CHは構造そのものだとすれば、結局Fieldは数学をやっていることになるのでは、ってツッコミながら読んでたら、後でShapiroが同じこと言ってた。
Let P be a scientific statement that makes reference to say, real numbers, and let P' be a nominalistic reconstrual of P. The hermeneutic nominalist claims that P and P' have the same meaning, and so despite appearances, P does not really make any reference to real numbers. Burgess and Rosen point out that if P and P' do have the same meaning, then one is justified in the opposite conclusion: despite appearances, P' does make reference to real numbers, since it has the same meaning as P. After all, synonymy is a symmetric relation ... (p.248)
2014年1月20日月曜日
分岐階型理論と還元公理についてのメモ
べ、別に論理学に興味があるわけじゃないんだからねっ！Stewart Shapiroの本で気になった箇所をまとめてみただけなんだから！
まずはフレーゲによる自然数の構成：
もしnが、0に対して成立しかつ後続の関係に関して閉じているすべての概念Fに対して成立するならば、nは自然数。すなわち
Nn≡∀F[F0∧∀d∀d'((Fd∧d' is a successor of d) ⇒ Fd') ⇒ Fn]
これをラッセルは集合の言葉に移植する：
もしnが、0を元として含みかつすべての元に対し後続する元をも含むようなすべての集合に含まれるならば、nは自然数。すなわち
Nn≡∀F[F∋0∧∀d∀d'((F∋d∧d' is a successor of d) ⇒ F∋d') ⇒ F∋n]
ただしここでFはtype 3の集合（なぜなら0はtype 2の数として定義され、異なる階型の要素を同じ集合の中に混ぜてはいけないから）。ラッセルのこの定義は、定義されるべき当の対象を元として含む集合への言及を含んでいるから、非可述的。ラッセル（とホワイトヘッド）は非可述的定義を受け容れないから、循環を回避するために彼らは階型をさらにorderに分ける。
type 1の集合が、もし集合への言及なしに定義可能であるならば、その集合はorder 0の集合で、「可述的集合」と呼ぶ。
type 1の集合が、それ自身可述的ではないものの可述的集合への言及のみによって定義可能であるならば、その集合はorder 1。
type 1の集合が、それ自身order 1ではないもののorder 1の集合への言及のみによって定義可能であるならば、その集合はorder 2。
同様の階層分けがすべての階型に対して成り立つ。これがプリンキピアの分岐階型理論(ramified type theory)。この理論に従えば、先の自然数の定義における「すべての集合」というフレーズは、type 2の集合のあるorder内に限定しないといけない。すなわち、「もしnが、0を元として含みかつすべての元に対し後続する元をも含むようなすべての可述的集合に含まれるならば、nはtype 2 order 1の自然数」、「もしnが、0を元として含みかつすべての元に対し後続する元をも含むようなすべてのorder 1の集合に含まれるならば、nはtype 2 order 2の自然数」、という風に。
しかしこのように定義された各orderの自然数が同一の自然数である必然性がない。また、階層性の制約がいくつかの数学的手法の定義を不可能にするらしい（数学的帰納法とか）。この困難を解消するために、ラッセルとホワイトヘッドは還元公理(axiom of reducibility)を提案する。「すべての階型におけるすべての集合Cについて、Cと同じ要素を持つ可述的集合C'が存在する」というのが還元公理の主張。こうして自然数の定義における「すべての集合」を「すべての可述的集合」に限定し、階層性の制約を無視することができる。しかしこれが批判者らからアドホックの誹りを受けることになる。
まずはフレーゲによる自然数の構成：
もしnが、0に対して成立しかつ後続の関係に関して閉じているすべての概念Fに対して成立するならば、nは自然数。すなわち
Nn≡∀F[F0∧∀d∀d'((Fd∧d' is a successor of d) ⇒ Fd') ⇒ Fn]
これをラッセルは集合の言葉に移植する：
もしnが、0を元として含みかつすべての元に対し後続する元をも含むようなすべての集合に含まれるならば、nは自然数。すなわち
Nn≡∀F[F∋0∧∀d∀d'((F∋d∧d' is a successor of d) ⇒ F∋d') ⇒ F∋n]
ただしここでFはtype 3の集合（なぜなら0はtype 2の数として定義され、異なる階型の要素を同じ集合の中に混ぜてはいけないから）。ラッセルのこの定義は、定義されるべき当の対象を元として含む集合への言及を含んでいるから、非可述的。ラッセル（とホワイトヘッド）は非可述的定義を受け容れないから、循環を回避するために彼らは階型をさらにorderに分ける。
type 1の集合が、もし集合への言及なしに定義可能であるならば、その集合はorder 0の集合で、「可述的集合」と呼ぶ。
type 1の集合が、それ自身可述的ではないものの可述的集合への言及のみによって定義可能であるならば、その集合はorder 1。
type 1の集合が、それ自身order 1ではないもののorder 1の集合への言及のみによって定義可能であるならば、その集合はorder 2。
同様の階層分けがすべての階型に対して成り立つ。これがプリンキピアの分岐階型理論(ramified type theory)。この理論に従えば、先の自然数の定義における「すべての集合」というフレーズは、type 2の集合のあるorder内に限定しないといけない。すなわち、「もしnが、0を元として含みかつすべての元に対し後続する元をも含むようなすべての可述的集合に含まれるならば、nはtype 2 order 1の自然数」、「もしnが、0を元として含みかつすべての元に対し後続する元をも含むようなすべてのorder 1の集合に含まれるならば、nはtype 2 order 2の自然数」、という風に。
しかしこのように定義された各orderの自然数が同一の自然数である必然性がない。また、階層性の制約がいくつかの数学的手法の定義を不可能にするらしい（数学的帰納法とか）。この困難を解消するために、ラッセルとホワイトヘッドは還元公理(axiom of reducibility)を提案する。「すべての階型におけるすべての集合Cについて、Cと同じ要素を持つ可述的集合C'が存在する」というのが還元公理の主張。こうして自然数の定義における「すべての集合」を「すべての可述的集合」に限定し、階層性の制約を無視することができる。しかしこれが批判者らからアドホックの誹りを受けることになる。
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